Schematy rozwiązywania równań różniczkowych [Polish]

Zamieściłem tu schematy rozwiązywania równań różniczkowych. Do korzystania z nich wymagana jest znajomość rachunku różniczkowego i całkowego.

Informacje ogólne

Rzędy równań różniczkowych:

I rzędu - zależność pomiędzy pochodną funkcji, samą funkcją i jej argumentem
II rzędu - występuje także druga pochodna, np. $ x''=ax $
(wyższe rzędy) - ANALOGICZNIE

Schematy

Lista schematów:

Równania różniczkowe zwyczajne
- Równania o zmiennych rozdzielonych
- Równania różniczkowe liniowe
  - I rzędu
    - Jednorodne
    - Niejednorodne
  - II rzędu
    - O stałych współczynnikach
      - Jednorodne
      - Niejednorodne
  - Wyższych rzędów
- Równania różniczkowe nieliniowe
Równania różniczkowe cząstkowe

Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)

Równanie: $ x'=p(t) $

Rozwiązanie: całkowanie funkcji

Równanie o zmiennych rozdzielonych x'=p(t)x

Równanie: $ x'=p(t)x $

Rozwiązanie:

$$ \text{rodzina funkcji} \hspace{0.25in} x(t) = C e^{\int p(t) \, dt} , \hspace{0.25in} C \in \mathbb{R} $$

Przypadek ogólny równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie: $ x'=p(t)q(x), \hspace{0.25in} x' \hspace{0.10in} \text{to inaczej} \hspace{0.10in} \frac{dx}{dt} $

Rozwiązanie:

$$ \int \frac{dx}{q(x)} \, dt = \int p(t) \, dt $$

Rozwiązania osobliwe:

Gdy funkcja $ q(x) $ przyjmuje wartość $ 0 $, możemy zgubić pojedyńcze nietypowe rozwiązania. Taki przypadek należy rozpatrzyć osobno.

Równania różniczkowe liniowe (INFO)

Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu ma postać:

$$ x^{(n)} + p_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \ldots + p_{1}(t)x' + p_{0}(t)x = f(t) $$

jednorodne - jeśli $ f(t) = 0 $
niejednorodne - jeśli $ f(t) \neq 0 $

Równanie liniowe jednorodne I rzędu

Równanie: $ x' + p(t)x = 0 $

Rozwiązanie:

(Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, dla którego są osobne schematy.)

Równanie liniowe niejednorodne I rzędu

Równanie: $ x' + p(t)x = f(t) $

Rozwiązanie:

$$ x(t) = x_{N}(t) + x_{J}(t) $$

gdzie:

$ x_{J}(t) $ jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego $ x' + p(t)x = 0 \hspace{0.10in} (RJ) $ , funkcja $ p(t) $ jest ciągła
$ x_{N}(t) $ jest jakimkolwiek rozwiązaniem równania niejednorodnego $ x' + p(t)x = f(t) \hspace{0.10in} (RN) $

Znajdowanie jakiegokolwiek rozw. równania niejednorodnego:

Istnieją dwie podstawowe metody:

metoda uzmienniania stałej
metoda czynnika całkującego

INFO: W przeciwieństwie do metody uzmienniania stałej, metoda czynnika całkującego nie przenosi się na równania wyższych rzędów.

Metoda uzmienniania stałej:

Rozwiązujemy RJ: $ x' + p(t)x = 0 $ .
W rozwiązaniu RJ zastępujemy stałą $ C $ przez zmienną $ C(t) $ wyznaczając $ x(t) $.
Podstawiamy wyznaczony w poprzednim kroku $ x(t) $ do RN i obliczamy $ C(t) $.
Obliczone $ C(t) $ podstawiamy bez stałej (bo interesuje nas tylko jakiekolwiek rozwiązanie) do wyniku RJ z uzmiennioną stałą i obliczamy x(t) jako jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN).

Metoda czynnika całkującego:

Mnożymy obie strony równania $ x' + p(t)x = q(t) $ przez tzw. czynnik całkujący $ e^{\int p(t) \, dt} $ otrzymując: $$ [xe^{\int p(t) \, dt}]' = q(t)e^{\int p(t) \, dt} . $$ WSKAZÓWKA: Najpierw obliczamy czynnik całkujący, przed podstawieniem go do powyższego równania.
Całkujemy obie strony i dzielimy przez czynnik całkujący $ e^{\int p(t) \, dt} $ aby wyznaczyć funkcję $ x(t) $ .
Aby uzyskać jakiekolwiek rozwiązanie równania niejednorodnego (RN), w wyznaczonym $ x(t) $ za stałą podstawiamy dowolną liczbę (zazwyczaj 0).

Równania różniczkowe liniowe II rzędu o stałych współczynnikach - jednorodne

Równanie: $ ax'' + bx' + cx = 0 $, gdzie $ a,b,c \in \mathbb{R}, a \neq 0 $

Rozwiązanie:

Wyznaczamy równanie charakterystyczne: $ a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 $
Obliczamy pierwiastki $ \lambda_1, \lambda_2 $ równania charakterystycznego
Forma rozwiązania zależy od pierwiastków:
- Dla różnych pierwiastków rzeczywistych $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $:
  $$x(t) = C_1e^{\lambda_1t} + C_2e^{\lambda_2t}, \quad C_1,C_2 \in \mathbb{R}$$
- Dla podwójnego pierwiastka rzeczywistego $ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda $:
  $$x(t) = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}, \quad C_1,C_2 \in \mathbb{R}$$
- Dla pierwiastków zespolonych $ \lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta $:
  $$x(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)), \quad C_1,C_2 \in \mathbb{R}$$

Równania różniczkowe liniowe II rzędu o stałych współczynnikach - niejednorodne

Równanie: $ ax'' + bx' + cx = f(t) $, gdzie $ a,b,c \in \mathbb{R}, a \neq 0 $

Rozwiązanie:

$$x(t) = x_J(t) + x_N(t)$$

gdzie:

$ x_J(t) $ - rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
$ x_N(t) $ - rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

Znajdowanie rozwiązania szczególnego:

Metoda uzmienniania stałych:
- Zakładamy rozwiązanie w postaci $ x_N(t) = u_1(t)y_1(t) + u_2(t)y_2(t) $
- gdzie $ y_1(t), y_2(t) $ to fundamentalny układ rozwiązań równania jednorodnego
- Rozwiązujemy układ równań:
  $$\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \\ u_1'y_1' + u_2'y_2' = f(t) \end{cases}$$

Metoda przewidywania (dla szczególnych postaci $ f(t) $):

$ f(t) $	Postać szczególna $ x_N(t) $
$ P_n(t) $	$ Q_n(t) $
$ e^{\alpha t}P_n(t) $	$ e^{\alpha t}Q_n(t) $
$ a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) $	$ A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) $

gdzie $ P_n(t), Q_n(t) $ są wielomianami stopnia $ n $

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Równanie: $ a_nx^{(n)} + a_{n-1}x^{(n-1)} + ... + a_1x' + a_0x = f(t) $

Rozwiązanie:

Dla równania jednorodnego:
- Wyznaczamy równanie charakterystyczne: $ a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + ... + a_1\lambda + a_0 = 0 $
- Rozwiązanie ma postać:
  $$x_J(t) = \sum_{i=1}^k (P_i(t)e^{\lambda_it}\cos(\beta_it) + Q_i(t)e^{\lambda_it}\sin(\beta_it))$$
  gdzie $ P_i(t), Q_i(t) $ są wielomianami stopnia mniejszego od krotności odpowiedniego pierwiastka
Dla równania niejednorodnego:
- Stosujemy metodę uzmienniania stałych lub
- Metodę przewidywania (analogicznie jak dla równań II rzędu)

Równania różniczkowe nieliniowe

Podstawowe typy:

Równania Bernoulliego: $ x' + p(t)x = q(t)x^n $, $ n \neq 0,1 $
- Podstawienie $ y = x^{1-n} $ sprowadza do równania liniowego
Równania Riccatiego: $ x' = p(t)x^2 + q(t)x + r(t) $
- Jeśli znamy jedno rozwiązanie szczególne $ x_0(t) $, możemy zredukować do równania liniowego
Równania autonomiczne: $ x' = f(x) $
- Rozwiązujemy przez całkowanie: $ \int \frac{dx}{f(x)} = t + C $

Równania różniczkowe cząstkowe

Podstawowe typy:

Równanie falowe: $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
- Rozwiązanie ogólne: $ u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) $
Równanie dyfuzji/przewodnictwa cieplnego: $ \frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
- Rozwiązanie metodą separacji zmiennych lub transformatą Fouriera
Równanie Laplace'a: $ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $
- Rozwiązanie metodą separacji zmiennych lub metodą funkcji zespolonych

Metody rozwiązywania:

Metoda separacji zmiennych
Metoda charakterystyk
Transformata Fouriera
Metody numeryczne

\( f(t) \)	Postać szczególna \( x_N(t) \)
\( P_n(t) \)	\( Q_n(t) \)
\( e^{\alpha t}P_n(t) \)	\( e^{\alpha t}Q_n(t) \)
\( a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) \)	\( A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) \)

Search This Blog

Tomasz Dworakowski Blog